Топология пространства

сентябрь, 2019 г.

Проф.. Лев Прейгерман
Израильская Независимая Академия развития науки

Аннотация. В данной статье автор показывает, что абстрактная топологическая теорема Пуанкаре - Перльмана, далекая на первый взгляд от реальности, подтверждает с большой достоверностью представления современной физической космологии о безграничной, но конечной развивающейся Вселенной.

Ключевые слова: топология, многообразие, неевклидова геометрия, теория относительности, трехмерная сфера, связность, теорема Пуанкаре-Перльмана, геометризация и симметризация, безграничность, вездесущность, конечность.

Space Topology

Prof.. Preigerman Lev
Israel Independent Academy of Development of Science
0545904005 e-mail preiglev@gmail.com

Аbstract. In this article, the author shows that the abstract topological Poincare – Perlman theorem, which at first glance is far from reality, confirms with great certainty the concept of modern physical cosmology about the infinite, but finite, developing Universe.

Key words: topology, manifold, non-Euclidean geometry, theory of relativity, three-dimensional sphere, connectedness, Poincare-Perlman theorem, geometrization and symmetrization, infinity, omnipresence, finiteness.

Классическая физика исходила из того, что мир функционирует на основе вечных, неизменных физических законов и самодостаточных свойств материи. Пространство и время рассматривались ею как необходимые, не зависящие от материи и друг от друга абсолютные и неизменные сущности, вместилища самих себя и всей находящейся в постоянном изменении материальной совокупности и отождествлялось с плоским непрерывным бесконечным и вечным математическим евклидовым пространством.

В начале 19 века несколько крупных математиков выдвинули идею новой, неевклидовой геометрии, в которой они рассматривали пространства, обладающие ненулевой положительной или отрицательной кривизной, а также многомерные пространства.

Основоположниками неевклидовой геометрии являются немецкий математик и физик И.Гаусс, его ученик Б.Риман, русский математик Николай Лобачевский и венгр Я.Бойяи. Теории неевклидовых пространств возникли первоначально из рассмотрения геометрии искривленных замкнутых (Гаусс) и открытых (Лобачевский) поверхностей второго порядка. Создатели абстрактной теории неевклидовых пространств, тем не менее, не исключали возможности той или иной связи метрики пространства с реальностью. Лобачевский даже допускал возможность существования связи между геометрией пространства и действующими в физическом мире движущими силами. Гениальной догадкой Римана стало его утверждение, что в искривленном пространстве безграничность не обязательно означает бесконечную протяженность и что путешественник, двигаясь в таком пространстве все время в одном и том же направлении, неизбежно должен вернуться в исходную точку. Он также предположил, что трехмерное пространство не является единственно возможным и что в принципе допустимы многомерные пространства различной кривизны.

Через 100 лет после публикации работ Гаусса А. Эйнштейн открыл кривизну реального пространства. Согласно созданной им теории относительности пространство и время не являются объективными и абсолютными сущностями, вместилищами изменяющейся материальной совокупности. Неразрывно связанное со временем (пространство-время), отражает лишь свойства и порядки образующей его материальной совокупности, а также порядки следования событий, связанные с изменением ее состояний. С другой стороны, из концепции положительно искривленного и замкнутого пространства-времени следовало, что оно является безграничным, но конечным [1]. Теория относительности неожиданно нашла блестящее подтверждение в, казалось бы, не связанной с реальностью новой математической дисциплине, топологии.

Действительно, кроме метрических свойств, изучаемых в геометрии, геометрические фигуры и пространства, характеризуются также свойствами мерности, связности, компактности, непрерывности, упорядоченности и пр. Среди них особое место занимают свойства мерности, связности и компактности, которые сохраняются при непрерывных деформациях и не зависят от метрики, т.е. форм, конфигураций и размеров объектов. Здесь под непрерывными деформациями имеются в виду те деформации, для которых изменения форм объектов происходят без разрывов, разрезов и склеиваний. Это, в частности, деформации растяжения (сжатия), кручения, изгиба, сдвига и пр. Указанные свойства называются топологическими, а раздел математики, изучающий топологические свойства, называется топологией.

Топология возникла независимо от теории относительности, но почти одновременно с ней. Ее основоположниками являются математик Г. Кантор, автор теории множеств, и знаменитый французский математик А. Пуанкаре.

Считается, что объекты, рассматриваемые в топологии, представляют собою непрерывные точечные множества. Эти множества называются многообразиями, если каждая их точка имеет окрестность, точки которой неотличимы или, как говорят, локально евклидовы. Многообразия образуют деформированные или гладкие линии, поверхности и тела, локализованные в пространствах любой конечной мерности, а также сами пространства. Самопересекающиеся линии и поверхности, не являются многообразиями. Точки и линии их пересечения называются особыми, так как они отличаются от всех других точек и линий окрестности. Например, замкнутый контур, сложенный восьмеркой, не является многообразием, так как его точка самопересечения – это особая точка. Многообразиями не являются также конус, многогранники и пр.

Различают многообразия с краем, т.е. с точкой или множеством точек, ограничивающим данное многообразие, и многообразия без края. К многообразиям без края относятся интервал, прямая линия, плоскость, окружность, сфера, поверхность тора, эллипс и пр. Наоборот, отрезок прямой, шар вместе со своей поверхностью (сферой), эллипсоид или овал со своими поверхностями, тор вместе с поверхностью (бублик с корочкой) и т. д. – это многообразия с краем. Наблюдатель, находящийся в многообразии без края, не может определить, в какой точке он находится, так как точки окружающей его окрестности абсолютно одинаковы.

Многообразие называется компактным (тесным, сжатым), если все множество его точек накапливаются к одной или многим точкам. Например, отрезок – компактное многообразие с краем, а сфера – это компактное многообразие без края, прямая – это некомпактное многообразие без края и т. д.

Различают также односвязные и многосвязные многообразия. Односвязными называют многообразия, в любой области которых произвольную замкнутую кривую можно стянуть в точку, причем так, чтобы кривая оставалась все время в этой области. На практике односвязные многообразия не имеют сквозных дырок, а многосвязные – имеют одну или несколько дырок. Несквозная дыра является следствием непрерывной деформации многообразия и не нарушает ее односвязности. Такими несквозными дырами следует, например, считать так называемые черные дыры космического пространства, стремящиеся к бесконечно искривленной, но неточечной сингулярности. Примерами односвязных многообразий могут служить гладкая или непрерывно деформированная прямая, плоскость, окружность, круг, сфера, шар, цилиндр и пр. Примерами многосвязных многообразий служат двусвязный тор, трехсвязный крендель и пр.

Многообразия данной мерности, которые топологически неразличимы, то есть могут переходить друг в друга с помощью непрерывных деформаций без нарушения связности, называются гомеоморфными. Гомеоморфными двумерными многообразиями являются эллипсоид, сфера и другие как угодно деформированные односвязные многообразия. Например, скомканный, не надутый воздушный шар гомеоморфен сфере, а сфера и тор негомеоморфны.

С нашей точки зрения, между законами симметрии систем и законами топологии существует связь, которую можно легко проследить. Действительно, в физике устанавливается инвариантность свойств симметричных систем и описывающих их уравнений относительно определенных непрерывных преобразований, а также сохранение некоторой величины, характеристики этих систем, соответствующей данному преобразованию. Из симметрии пространства-времени, например, следует инвариантность его физических свойств (равноправность его точек, направлений, временных интервалов) относительно некоторых непрерывных преобразований – параллельных переносов в пространстве и времени, поворотов, а также вытекающие из этой инвариантности сохранение импульса, момента импульса и энергии. В той же мере из топологии пространства следует инвариантность топологических свойств относительно непрерывных деформаций и сохранение связности, мерности, компактности и пр.

Статистическая физика установила, что все физические системы стремятся перейти в более простое, более устойчивое симметричное состояние. Обобщая данный закон, можно, по нашему мнению, ожидать, что топологическая система также должна стремиться принять наиболее простую, наименее упорядоченную геометрическую форму.

Указанное предположение, как мы считаем, находит свое подтверждение в знаменитой теореме топологии Пуанкаре – Перельмана.

Рассмотрим эту теорему более подробно. В ее основе лежит гипотеза Пуанкаре, которую он сформулировал в самом общем виде, то есть для сфер любой конечной мерности, еще в 1904 году. Однако наибольший интерес представляет частная формулировка этой гипотезы для трехмерной сферы. Это связано с тем, что все сферы с мерностью, большей 3, являются абстрактными математическими категориями и к реальному миру, по крайней мере, его крупномасштабной части, не имеют отношения. Кроме того, несмотря на то, что для мерности, большей 3, гипотеза была доказана достаточно давно, гипотеза в частной формулировке не поддавалась доказательству. Правда, в течение прошлого столетия предпринимались многочисленные попытки в этом направлении. Особенно следует отметить работы американского математика Ричарда Гамильтона, который подошел очень близко к ее доказательству. Однако из -за допущенных им ошибочных предположений он не смог ее доказать. Доказать гипотезу Пуанкаре в частной формулировке впервые удалось российскому математику Григорию Перельману в 2003 году, т.е. ровно через 100 лет после ее формулировки Пуанкаре,

В частном случае гипотеза Пуанкаре формулируется следующим образом [3].

Всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере.

Укажем прежде всего, что привычная для нас поверхность трехмерного шара является двумерной односвязной сферой. Исходя из аналогии, говорят также, что окружность – это одномерная сфера, круг – двумерный шар, а трехмерная сфера – это поверхность четырехмерного шара. Вообразить четырехмерный шар и, соответственно, трехмерную сферу мы не в состоянии в силу того, что мы живем в трехмерном пространстве, образованном трехмерной материальной совокупностью, частью которой мы сами являемся. Однако получить некоторое представление о трехмерной сфере мы можем, воспользовавшись указанной аналогией. Для этого рассмотрим два одинаковых круга, т.е два двумерных многообразия, ограниченные окружностями, в нашей аналогии одномерными сферами, расположенными друг под другом, в двух горизонтальных параллельных плоскостях (см. рисунок, слева).

Раздуем верхний круг в третье измерение вверх, а нижний круг – вниз так, чтобы образовались две полусферы, северная и южная. Склеим полученные полусферы по их окружностям. Таким образом, путем раздувания и склеивания двумерных многообразий по одномерным многообразиям, которые их ограничивают, мы получим двумерную сферу. Следует ожидать, что, действуя по той же схеме, но взяв в качестве исходных многообразий не двумерные круги, а трехмерные шары, ограниченные двумерной сферой, мы получим трехмерную сферу. Конечно, для этого нам пришлось бы раздуть исходные шары в невоспринимаемое нами четвертое измерение и склеить полученные фигуры по поверхности двумерной сферы. Как это сделать, мы не знаем, но аналогия убеждает нас в том, что это возможно.

Другая, более простая аналогия. Двумерную сферу можно определить как поверхность, проекции которой на 3 ортогональные плоскости евклидова пространства, представляют собою двумерные круги. Исходя из той же логики, можно определить трехмерную сферу как поверхность, проекции которой на 4 ортогональные трехмерные многообразия в римановом пространстве представляют собою трехмерные шары.

Известно, что одномерное многообразие без края, например, любая замкнутая самонепересекающаяся линия, имеет только одно измерение, длину. Двумерное многообразие без края, например, двумерная сфера или любая другая замкнутая самонепересекающаяся поверхность, имеет два измерения и лишено толщины. Это значит, что трехмерное самонепересекающееся многообразие без края, например трехмерная сфера, имеет все три измерения, в т.ч. и толщину и лишено лишь четвертого измерения.

Очевидно, что наблюдатель, живя внутри многообразия той же размерности, не может выйти за пределы этого многообразия, наблюдать его и узнать, какая у него форма, так как он, кроме своей окрестности, ничего не воспринимает. Он это может сделать только в том случае, если живет внутри многообразия меньшей мерности. В течение тысячелетий, например, человек, живя на двумерной сфере трехмерного земного шара, ие выходя за ее пределы, был уверен в том, что Земля плоская, ибо именно такой он видел ее окрестности. Исходя из косвенных данных, например, кругосветных путешествий, он догадался, что поверхность Земли является двумерной сферой. Однако впервые он смог непосредственно убедиться в этом, наблюдая нашу Землю из третьего измерения, то есть из космоса. По той же причине мы также не можем, с помощью наблюдений, узнать, какая форма у пространства-времени, внутри которого мы живем, и окрестности которого воспринимаются нами как плоское евклидово пространство. Мы только можем с помощью науки построить те или иные модели и высказать построенные на логике суждения о степени их достоверности. Выйти за пределы пространства-времени и наблюдать его со стороны мы в принципе не можем, так как для этого нам необходимо выйти в несуществующее для нас четвертое измерение.

Правда, из теории относительности мы знаем, что мы живем в четырехмерном пространстве-времени. Пространственные координаты и время, образующие интервал, не вполне, однако, идентичны, так как их квадраты, входят в квадрат интервала с разными знаками. Это значит, что, если мы считаем оси системы пространственных координат действительными и наблюдаемыми, лежащими в действительном пространстве, то ось времени является мнимой, т.е. лежащей в мнимом пространстве. В силу нашей трехмерности, она является ненаблюдаемой одновременно с действительными пространственными осями. Вследствие этого мы в состоянии воспринять трехмерное пространство только отдельно от времени, а время – отдельно от трехмерного пространства.

В любом случае, признавая, что пространство и время образуют единое реальное четырехмерное пространство-время, мы приходим к выводу, что мы живем в пространстве, которое представляет собою трехмерную поверхность некоторого четырехмерного образования, или, в терминах топологии, – трехмерное компактное многообразие без края. С другой стороны, исходя из опыта, а также из представлений статистической физики об однородности и изотропности пространства, и его расширении и конечности следует допустить, что оно односвязно и компактно. Это значит, что в соответствие с теоремой Пуанкаре-Перельмана реальное пространство гомеоморфно трехмерной сфере.

Односвязные компактные многообразия без края, гомеоморфные сфере, отличаются от нее неоднородностью своей кривизны. Это значит, что сфера уникальна в том смысле, что среди всех возможных гомеоморфных ей многообразий, она обладает наиболее простой регулярной формой.

Это, с нашей точки зрения, аналогично тому, как симметричная, то есть однородная и уравновешенная материальная структура, отличается от неоднородных и неуравновешенных структур материальной совокупности тем, что она является среди них наименее упорядоченной, наиболее простой и устойчивой. Другими словами, любая неоднородная неуравновешенная система в силу своей неустойчивости стремится перейти в симметричное менее упорядоченное равновесное состояние. Этот процесс можно, как мы считаем, назвать симметризацией. Процессы симметризации в физике описываются соответствующими дифференциальными уравнениями переноса в частных производных, например, уравнениями теплопроводности, электропроводности, течения вязких жидкостей и пр. Решениями этих уравнений являются, как известно, градиенты (или вихри, роторы) неравновесных величин, под действием которых происходит перенос вещества и энергии, снижающий упорядоченность систем, и их переход в равновесное состояние.

В топологии, как мы считаем, процессам симметризации соответствуют процессы геометризации, которые сводятся к сглаживанию впадин и выступов неоднородного односвязного компактного многообразия и превращению его в гладкую сферу.

Гамильтон еще в 80- годах прошлого столетия пытался доказать гипотезу Пуанкаре для трехмерного многообразия, применив к нему процедуру геометризации путем ее выравнивания методом хирургии. Метод хирургии сводится к вырезанию небольших участков многообразия в местах нарушения его гладкости с двух сторон и их замене соответствующими сферами, сглаживающими многообразие. Гамильтон при этом высказал идею, согласно которой процесс геометризации многообразий описывается дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных, так называемым потоком Риччи (1). Как и ожидалось, поток Риччи оказался похожим на тепловой поток (потоки других физических величин), а его уравнение (1) формально ничем не отличалось от уравнения теплопроводности (2).

∂gij/∂t = – 2Rij, (1)

∂u/∂t = k∂2u/∂x2, (2)

где Rij –дифференциальный тензор второго порядка кривизны (Rij ∂2gij/∂x2);

gij – метрический тензор.

Не вдаваясь в достаточно сложные математические тонкости, укажем, что Гамильтон столкнулся с трудностями, которые ему не удалось преодолеть. Их суть сводится к тому, что в некоторых случаях в процессе геометризации трехмерного многообразия методом хирургии поток Риччи приводит к его пережиму. В результате появляются особые точки, в которых кривизна многообразия становится бесконечной и, с точки зрения Гамильтона, неустранимой.

Решая, в частности, уравнении (1), Гамильтон пришел к выводу, что в сравнительно небольшом интервале времени величина кривизны остается конечной (принимает форму гантели). Однако, начиная с некоторого момента времени, по Гамильтону, возникают нерегулярности типа неполной гантели (сигары), которые не могут быть устранены хирургией ( см рисунок а, b)

Только в 2003 году Перельман доказал, что с применением потока Риччи после хирургии, ему можно всегда придать вид плавной гантели (см. рисунок с). Если после этого вновь возникает пережим, то процедуру повторяют с помощью меньших сфер, которые еще больше сглаживают многообразие, и т. д. Перельман далее показал, что нерегулярности типа сигары при этом не возникают, и при многократном применении хирургии, рассматриваемые многообразия стремятся к гладкой сфере (см.рисунок с). Математически задача геометризации с хирургией была решена Перельманом путем добавления к уравнению потока Риччи специального члена. В результате гипотеза Пуанкаре для трехмерной сферы оказалась окончательно доказанной [3].

Из сказанного следует, что поток Риччи, сглаживающий неровности многообразий, играет в топологии ту же роль, что и материальные потоки в физической реальности, сглаживающие неоднородности материальных систем. Это, как мы считаем, является результатом того, что неровности пространственных структур вызываются неоднородностями материальных совокупностей.

Иначе говоря, можно, по нашему мнению, допустить, что Вселенная после большого взрыва, в силу абсолютной симметрии (абсолютной неупорядоченности) взорвавшейся сингулярности скачкообразно упорядочилась. Этот процесс привел к существенной неоднородности плотности и кривизны в разных точках. Очевидно также, что неоднородностям первичного микромира неизбежно сопутствовали неровности, комканности, пространства-времени. Под воздействием обусловленных неоднородностью градиентов (роторов) пространство-время начало стремительно расширяться, ускоренно раздуваясь, так, что одновременно устранялись неоднородности и сглаживались неровности. В результате Вселенная вновь устремилась к абсолютному хаосу. От этой опасности ее спасла, однако, заложенная в программе ее развития структуризация и упорядочивание одних ее частей (например, возможных обитаемых планетных систем) при разупорядочивании остальной части Вселенной.

Скорость раздувания пространства характеризовалась темпом течения времени, а стрела мнимого однонаправлено (из прошлого в будущее) изменяющегося времени, реализовавшегося в недоступном для наблюдения четвертом измерении, стала играть роль радиуса четырехмерного шара, на трехмерной сфере которого разместилась материальная совокупность Вселенной. Непрерывно изменяющемуся времени соответствует при этом расширяющееся пространство. Вопросы о том, что находится за пределами нашего мира, а также концепция множественности миров полностью теряют в связи с этим смысл, так как за пределами нашего мира могло бы расположиться только пятое измерение, которое, однако, в действительности для нас не существует. Следовательно, наш мир, оставаясь конечным в пространстве и времени, является единственным. Кроме того, точно так же, как для плоского двумерного жука пространство двумерной сферы, за пределы которой он не может выйти, так и для трехмерного обитателя трехмерной сферы, человека, Вселенная вездесуща, хотя и конечна. Ее радиус совпадает со временем с момента большого взрыва, и равен по расчетам, 13,7 млрд. лет. Это было подтверждено в 2005 г, когда телескоп Хаббл, установленный на американском спутнике, зафиксировал первую во Вселенной зажегшуюся Звезду.

Доказательство теоремы Пуанкаре-Перльмана, ставит, по нашему мнению, точку в затянувшемся споре о природе пространства и времени. Эта теорема, как мы видели, с высокой достоверностью и математической точностью подтверждает современные представления о пространстве-времени и эволюции Вселенной, вытекающие из теории относительности Эйнштейна, космологических представлений о расширении и развития Вселенной, лежащих в основе теории горячей Вселенной Гамова, теории инфляции и ряда других современных физических и космологических теорий.

Использованная литература

1. Логунов А.А. Лекции по теории относительности и гравитации. М., Наука, 1987

2. Хелли Дж. Общая топология. М., 1981

3. О. Арсенов. Григорий Перльман и гипотеза Пуанкаре. Эксимо,2010